Question

已知f（x）=2012sinx+2011x³，且x∈（-1，1），若f（1-a）+f（1-a²）＜0，则a的取值范围是

1. A.
   （0，2）
2. B.
   
3. C.
   （-2，0）
4. D.
   

Answer 1

D
分析：在区间（-1，1）上，由f（-x）=-f（x）、f^′（x）＞0可知函数f（x）是奇函数且单调递增，由此可求出a的取值范围，进而选出答案．
解答：∵f（x）=2012sinx+2011x³，?x∈（-1，1），则f（-x）=-f（x），∴f（x）在区间（-1，1）上是奇函数；
又f^′（x）=2012cosx+6033x²，x∈（-1，1），∴f^′（x）＞0，∴f（x）在区间（-1，1）上单调递增；
由f（1-a）+f（1-a²）＜0，∴f（1-a）＜-f（1-a²），∴f（1-a）＜f（a²-1），
∴-1＜1-a＜a²-1＜1，解之得 即，
所以a的取值范围是（1，）．
故选 D．
点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，充分理解函数的奇偶性、单调性是解决问题的关键．