Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 ．
（1）求∠ABC；
（2）若 ，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ．

∴由正弦定理可得： sinA=sinBsinC+ sinBcosC，

∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，

∴可得： sinBcosC+ sinCcosB=sinBsinC+ sinBcosC，

可得： sinCcosB=sinBsinC，

∵sinC≠0，解得sinB= cosB，即：tanB= ，

∴由B∈（0，π），可得：B= ．

（2）解：在△BCD中，DB=2，DC=1，

∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．

又 ，由（1）可知△ABC为等边三角形，

∴S△ABC= BC2= ×（5﹣4cosD）= ﹣ cosD，

又∵S△BDC= =sinD，

∴S四边形ABDC= ﹣ cosD+sinD= +2sin（D﹣ ）．

∴当D= 时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为 +2．

【解析】（1）利用两角和的正弦函数公式及三角形内角和定理化简已知可得tanB= ，由B∈（0，π），即可求得B的值．（2）由已知利用余弦定理可求BC2=5﹣4cosD．利用三角形面积公式可求S△ABC= ﹣ cosD， S△BDC=sinD，根据三角函数恒等变换的应用可得S四边形ABDC= +2sin（D﹣ ），利用正弦函数的图象和性质可求其最大值．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义，掌握正弦定理:即可以解答此题．