Question

当0＜x≤

π

2

时，关于x的方程cos²x-sinx+a=0时有解，则a的取值范围是

（-1，1]

．

Answer 1

分析：先利用同角三角函数关系式把所给方程中的三角函数名统一，方程可化为关于sinx的一元二次方程，把a用含sinx的式子表示，根据正弦函数的有界性，求出这个含sinx的式子的范围，即可得到a的范围．

解答：解：cos²x-sinx+a=0可化简为sin²x+sinx-a-1=0
即（sinx+

1

2

）²-a-

5

4

=0在0＜x≤

π

2

时有解
当0＜x≤

π

2

时，0＜sinx≤1，∴

1

4

＜（sinx+

1

2

）²≤

9

4

∴

1

4

＜a+

5

4

≤

9

4

，-1＜a≤1
∴a的取值范围是（-1，1]
故答案为（-1，1]

点评：本题主要考查了含有正弦的函数值域的求法，用到了正弦函数的有界性，属于三角函数的常规题．