Question

已知函数f（x）=（log_ax）²-log_ax-2（a＞0，a≠1）
（Ⅰ）当a=2时，求解关x的不等式f（）＞0
（Ⅱ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）不等式即  --2＞0，解一元二次不等式求得①＞log₂4，
或②＜．分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）分a＞1和0＜a＜1两种情况，利用函数的单调性分别求得最小值，再根据最小值为4，求得a的值．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（log_ax）²-log_ax-2，故当a=2时，f（x）=-log₂x-2．
故f（）=--2，故关于x的不等式f（）＞0，
即  --2＞0．
令t=，则不等式即 t²-t+2＞0，即 （t-2）（t+1）＞0．
解得 t＞2，或t＜-1，故有 ＞2，或  ＜-1，
即 ①＞log₂4，或②＜．
解①求得 ＞4，即 ，解得 ＜x＜1．
解②求得 0＜＜，即 ，即  ，
即  ，解得-1＜x＜-．
综上，不等式的解集为 {x|-1＜x＜-，或＜x＜1}．
（Ⅱ） f（x）=（log_ax）²-log_ax-2=（log_ax-2）（log_ax+1）=•log_a（ax）．
当a＞1时，函数 f（x）在[2，4]上增函数，故最小值为f（2）=•log_a（2a）=4，
化简可得 （log_a2-2）（log_a2+1）=4，解得 log_a2=3，或 log_a2=-2 （舍去），故a=．
当0＜a＜1时，f（x）=•log_a（ax） 在[2，4]上增函数，
故最小值为f（2））=•log_a（2a）=4，解得得 log_a2=3（舍去），或 log_a2=-2，解得 a=．
综上，a=，或a=．
点评：本题主要考查二次函数的性质应用，对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．