Question

已知函数f（x）=（log_ax）²-log_ax-2（a＞0，a≠1）
（Ⅰ）当a=2时，求解关x的不等式f（

1+x

1-x

）＞0
（Ⅱ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式即  (log2

1+x

1-x

)2-log2

1+x

1-x

-2＞0，解一元二次不等式求得①log2

1+x

1-x

＞log₂4，
或②log2

1+x

1-x

＜log2

1

2

．分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）分a＞1和0＜a＜1两种情况，利用函数的单调性分别求得最小值，再根据最小值为4，求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（log_ax）²-log_ax-2，故当a=2时，f（x）=(log2x)2-log₂x-2．
故f（

1+x

1-x

）=(log2

1+x

1-x

)2-log2

1+x

1-x

-2，故关于x的不等式f（

1+x

1-x

）＞0，
即  (log2

1+x

1-x

)2-log2

1+x

1-x

-2＞0．
令t=log2

1+x

1-x

，则不等式即 t²-t+2＞0，即 （t-2）（t+1）＞0．
解得 t＞2，或t＜-1，故有 log2

1+x

1-x

＞2，或  log2

1+x

1-x

＜-1，
即 ①log2

1+x

1-x

＞log₂4，或②log2

1+x

1-x

＜log2

1

2

．
解①求得 

1+x

1-x

＞4，即

5x-3

x-1

＜0，解得

3

5

＜x＜1．
解②求得 0＜

1+x

1-x

＜

1

2

，即

x+1 x-1 ＜0 x+1 x-1 + 1 2 ＞0

，即 

-1＜x＜1 3x+1 2x-2 ＞0

，
即 

-1＜x＜1 x＞1 ，或x＜- 1 3

，解得-1＜x＜-

1

3

．
综上，不等式的解集为 {x|-1＜x＜-

1

3

，或

3

5

＜x＜1}．
（Ⅱ） f（x）=（log_ax）²-log_ax-2=（log_ax-2）（log_ax+1）=loga(

x

a2

)•log_a（ax）．
当a＞1时，函数 f（x）在[2，4]上增函数，故最小值为f（2）=loga(

2

a2

)•log_a（2a）=4，
化简可得 （log_a2-2）（log_a2+1）=4，解得 log_a2=3，或 log_a2=-2 （舍去），故a=

3	2

．
当0＜a＜1时，f（x）=loga(

x

a2

)•log_a（ax） 在[2，4]上增函数，
故最小值为f（2））=loga(

2

a2

)•log_a（2a）=4，解得得 log_a2=3（舍去），或 log_a2=-2，解得 a=

2

2

．
综上，a=

3	2

，或a=

2

2

．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．