Question

1．已知抛物线y²=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3$\sqrt{5}$，
（1）求m的值；
（2）设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得b值，从而解决问题．
（2）设P（a，0），先求点P（a，0）到AB：2x-y-4=0距离，再根据三角形的面积公式，求出a 值，可求P得坐标．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$，
∴4x²+4（m-1）x+m²=0，
由△＞0有  16（m-1）²-16m²＞0，
解得 m＜$\frac{1}{2}$；
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1-m，x₁x₂=$\frac{1}{4}{m}^{2}$，
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{2}^{2}}$$\sqrt{（1-m）^{2}-{m}^{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{1-2m}$=3$\sqrt{5}$，
解得 m=-4．
（2）设点P（a，0），P到直线AB的距离为d，
则d=$\frac{|2a-0-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2|a-2|}{\sqrt{5}}$，
又S_△ABP=$\frac{1}{2}$|AB|•d=9=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{5}$×$\frac{2|a-2|}{\sqrt{5}}$=3|a-2|，
∴|a-2|=3，
解得a=5或a=-1，
故点P的坐标为（5，0）或（-1，0）

点评 本题主要考查了直线与抛物线相交求解弦长，关键是根据方程的根与系数的关系表示由AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，这是圆锥曲线的考查的热点之一．