Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若， ， ，求的极小值；

（3）设， .若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）不能

【解析】试题分析：（1）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即，n由此即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用换元法令t=ex，则t∈[1，2]，则h（t）=t3-3at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；
（Ⅲ）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x2-kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．

试题解析：

解：（Ⅰ）

由题意，知恒成立，即

又，当且仅当时等号成立.

故，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，则，则

由，得或（舍去），，

①若，则单调递减；在也单调递减；

②若，则单调递增. 在也单调递增；

故的极小值为

（Ⅲ）设在的切线平行于轴，其中

结合题意，有

①-②得，所以由④得

所以⑤

设，⑤式变为

设，

所以函数在上单调递增，因此，，即

也就是，，此式与⑤矛盾.

所以在处的切线不能平行于轴.