Question

【题目】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示的外接圆半径.

（Ⅰ）如图，在以O圆心、半径为2的O中，BC和BA是O的弦，其中，求弦AB的长;

(Ⅱ)在中，若是钝角，求证：;

(Ⅲ)给定三个正实数a、b、R，其中，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用a、b、R表示c.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据正弦定理，即可求得AB的长度。

（Ⅱ）由余弦定理，结合角C为钝角，即可得到，再由正弦定理即可得到。

（Ⅲ） 对a进行分类讨论，在不同情况下结合正弦定理与余弦定理确定a、b、c的关系，进而判断三角形的个数。

（Ⅰ）解法一：连接OB，OC，则，所以，所以．在中，，由正弦定理得,

解得

解法二：的外接圆半径为2，在中，，

∴.

(Ⅱ)解法一：因为是钝角，所以，即，又因为,所以，又因为，所以所以，则

解法二：由正弦定理得由于是钝角，都是锐角，得

，

∵，∴，即.

（Ⅲ）①当或时，所求的不存在.

②当且时，，所求的只存在一个，且.

③当且时，，且A、B都是锐角，由，

A、B唯一确定．因此，所求的只存在一个，且.

④时，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的存在两个．由,得

当时，，

当时，，

.