Question

已知数列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

…计算S₁，S₂，S₃，根据据算结果，猜想S_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

分析：由数列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

…，分别令n=1，2，3，求得S₁，S₂，S₃，的值，猜想S_n的表达式，应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．

解答：解：
S1=1-

1

2

S2=1-

1

3

S3=1-

1

4

猜想：Sn=1-

1

n+1

下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，左边S1=1-

1

2

=

1

2

，右边1-

1

2

=

1

2

②假设n=k时，猜想成立，即

1

1×2

+

1

2×3

++

1

k(k+1)

=1-

1

k+1

1

1×2

+

1

2×3

++

1

k(k+1)

+

1

(k+1)(k+2)

=1-

1

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=1-

1

k+1

(1-

1

k+2

)=1-

1

(k+1)+1

∴n=k+1时猜想也成立
根据1，2可知猜想对任何n∈N^*都成立．

点评：考查归纳、猜想、应用数学归纳法证明有关正整数命题的方法步骤，考查学生的计算、归纳、猜想能力，特别是②是关键，是核心，也是数学归纳法证明命题的难点所在，属基础题．