Question

已知数列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

…

1

(3n-2)×(3n+1)

，计算s₁，s₂，s₃，s₄，猜想s_n的表达式，并用数学归纳法证明猜想的正确性．

Answer 1

分析：（1）S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．
（2）由（1）猜想猜想Sn=

n

3n+1

，n∈N₊，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设Sk=

k

3k+1

，则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立．

解答：解：S1=

1

1•4

=

1

4

，S2=

1

1•4

+

1

4•7

=

2

7

S3=

1

1•4

+

1

4•7

+

1

7•10

=

3

10

，S4=

1

1•4

+

1

4•7

+

1

7•10

+

1

10•13

=

4

13

----------（4分）
猜想：Sn=

n

3n+1

----------------------------（6分）
证明：（1）当n=1 时，由上面计算知结论正确．
（2）假设n=k时等式成立，即Sk=

k

3k+1

，
则当n=k+1时

Sk+1=Sk+ 1 (3k+1)(3k+4) = k 3k+1 + 1 (3k+1)(3k+4) = 3k2+4k+1 (3k+1)(3k+4) = (3k+1)(k+1) (3k+1)(3k+4) = k+1 3k+4 = k+1 3(k+1)+1

即n=k+1时等式成立
由（1），（2）知，等式对任意正整数都成立-------------------------（14分）

点评：本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，证明n=k+1时，是解题的难点．