题目内容

已知函数和函数f（x）=ax3-x2+1（a为常数）
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若方程f（x）=0有三个不同的解，求实数a的取值范围．
（1）函数f（x）=ax3-x2+1的导数为：
f′（x）=3ax2-2x=x（3ax-2）
f′（x）=0?x1=0，x2=
2
3a
＞0  （a＞0）
不等式f′（x）＜0的解集是（0，
2
3a
），
∴当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间是（0，
2
3a
）
（2）当a＞0时，由（1）可得函数f（x）=ax3-x2+1在（-∞，0）和（
2
3a
，+∞）上为增函数，
在（0，
2
3a
）上为减函数，而方程f（x）=0有三个不同的解
∴f（0）＞0且f(
2
3a
) ＜0，解之得a∈(0，
2
3
9
)
同理，得到当a＜0时，使方程f（x）=0有三个不同的解的a∈(-
2
3
9
，0)
综上所述，得到符合题意的a的取值范围是：a∈(-
2
3
9
，0)∪(0，
2
3
9
)
练习册系列答案
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已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①f（1）=3；②f（x）≥2对一切x∈[0，1]恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2，
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）试比较f(
1
2n
)与
1
2n
+2的大小；
（Ⅲ）某同学发现：当x=
1
2n
（n∈N）时，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．
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1
2
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1
2
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（2）设函数F（x）满足F（x）+x[f′（x）-g′（x）]=-3x2-（a+6）x+1．其中f′（x），g′（x）分别是函数f（x）与g（x）的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈（0，1]时，F（x）取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
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（1）求数列{an}的通项公式；
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nan-1
，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，cp，cq成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．
（2008•武汉模拟）已知函数和函数f（x）=ax3-x2+1（a为常数）
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若方程f（x）=0有三个不同的解，求实数a的取值范围．

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