Question

已知函数f（x）=x²+a，g（x）=f（f（x）），a∈R．
（1）当a=-1时，分别求出函数f（x）和g（x）的最小值及它们对应的x值；
（2）是否存在实数A使得关于x的方程g（x）=0有实根，若存在，请求出A的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=-1代入，由二次函数的最小值可得答案；
（2）题意中的方程有实根等价于t²+2at+a²+a=0有非负的实根，满足两根和与积均非负，解之可得答案．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=x²-1，
∴g（x）=f（f（x））=（x²-1）²-1，
故当x=0时，函数f（x）取最小值-1，
当x=±1时，函数g（x）取最小值-1
（2）由题意可知g（x）=f（f（x））=（x²+a）²+a
令x²=t，t∈[0，+∞），则上式可化为：y=t²+2at+a²+a
题意中的方程有实根等价于t²+2at+a²+a=0有非负的实根
由根与系数关系法可得

-2a≥0 a2+a≥0

，解得a≤-1
故存在，且a的取值范围为：a≤-1

点评：本题考查二次函数的值域和零点，涉及根与系数关系，属基础题．