题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
为正三角形，
为线段
的中点.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
，求直线
与平面
所成的角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）取
的中点
，根据中位线可得
，在根据垂直关系可证得
；根据面面平行的判定定理可证得平面
；利用面面平行性质定理证得结论；（Ⅱ）根据线面垂直判定定理可证得
平面
，从而可以以
为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.
（Ⅰ）证明：取的中点，连接
，如图所示：
分别为
中点 
为等边三角形 
又
又
平面平面
又
平面
平面
（Ⅱ）为正三角形，
，
，
连接
，
，则为
的中点
，
又
，
又
平面
以为坐标原点，
所在直线分别为
，
轴，建立如图所示空间直角坐标系
则
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，令
，则
，
设直线
与平面所成角为
则直线与平面所成角的正弦值为：
【题目】某工厂有两台不同机器A和B生产同一种产品各10万件,现从各自生产的产品中分别随机抽取二十件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：
该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到
的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到
的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到
的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．
（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记
为来自B机器生产的产品数量，写出的分布列，并求的数学期望；
（2）完成下列
列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好；
A生产的产品 | B生产的产品 | 合计 | |
良好以上（含良好） | |||
合格 | |||
合计 |
（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？
【题目】阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：
0项 | 1项 | 2项 | 3项 | 4项 | 5项 | 5项以上 | |
理科生（人） | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生（人） | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
（1）完成如下
列联表，并判断是否有
的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？
比较了解 | 不太了解 | 合计 | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合计 |
（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.
（i）求抽取的文科生和理科生的人数；
（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用
表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.
参考数据：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，
.
