题目内容
【题目】设
是圆
上的任意一点，
是过点且与
轴垂直的直线，
是直线与轴的交点，点
在直线上，且满足
.当点在圆
上运动时，记点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点
，过
的直线
交曲线于
两点，交直线
于点
.判定直线
的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）设点
，
，由条件的线段比例可得
，
，代入圆的方程中即可得解；
（2）设直线
的方程为
，与椭圆联立得得
，设
，
，由
，结合韦达定理代入求解即可.
（1）设点，，因为
，点
在直线
上，
所以，.①
因为点
在圆
：
上运动，所以
.②
将①式代入②式，得曲线
的方程为.
（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，
令
，得
的坐标为
.
由
，得.
设，，则有
，
.③
记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，
从而
，
，
.
因为直线
的方程为，所以
，
，
所以 
.④
把③代入④，得
.
又
，所以
，
故直线，，的斜率成等差数列.
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A. 
B. 
C. 
D. 
