Question

【题目】已知函数.

（1）若恒成立，求在处的切线方程；

（2）若有且只有两个整数解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由恒成立可知即，即可得到在处的切线方程；

(2)可化简为.对a分类讨论，当时，显然不适合，当时，原不等式可化为，数形结合分析可得结果.

（1）∵，∴.

∵恒成立，∴，∴.

当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，

∴恒成立，∴符合题意.

∴，，故，，

∴在处的切线方程为，即.

（2）∵，化简即.

（i）当时，时，，∴恒成立，

此时有无数个整数解，不合题意；

（ii）当时，原不等式可化为，令.

∴，令，∴，∴在上单调递增.

又，，∴存在唯一使得.

∴在上单调递减，在上单调递增，且.

又，，，，

∴当原不等式有且只有两个整数解时，，

即.