Question

（2013•凉山州二模）锐角△ABC中，a，b，c为其内角A、B、C所对边长，向量

m

=（sinA+sinB，sin（B+

π

3

）），

n

=（sinA-sinB，sin（B-

π

3

）），若

m

⊥

n

，

AB

•

AC

=12．
（1）求角A；
（2）若a=7，求b，c（其中b＜c）．

Answer 1

分析：（1）根据两个向量垂直的性质可得

m

•

n

=0，化简求得sinA的值，从而求得锐角A的值．
（2）根据条件

AB

•

AC

=12，可得bc=24，再利用余弦定理可得 49=b²+c²-24，解方程组求得b、c的值．

解答：解：（1）锐角△ABC中，∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=（sinA+sinB） （sinA-sinB）+sin（B+

π

3

）sin（B-

π

3

）=sin²A+sin²B+(

1

2

sinB)2-(

3

2

cosB)2
=sin²A-

3

4

=0，
∴sinA=

3

2

，∴A=

π

3

．
（2）∵

AB

•

AC

=bc•cosA=

1

2

bc=12，∴bc=24 ①．
又b＜c，a=7，由余弦定理可得 7²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc=b²+c²-24 ②．
由①②可得 b=3 c=8．

点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，余弦定理的应用，属于中档题．