Question

二面角α–EF–β的大小为120°，A是它内部的一点AB⊥α，AC⊥β，B，C分别为垂足.

（1）求证：平面ABC⊥β；

（2）当AB=4cm，AC=6cm,求BC的长及A到EF的距离.

Answer 1

（1）∵AB⊥α，EFα，∴EF⊥AB，同理EF⊥AC，AB，AC是两条相交直线，∴ EF⊥平面ABC，∵ EFα，EFβ,∴ 平面ABC⊥平面α,平面ABC⊥平面β。

  （2）设平面ABC与EF交于点D，连结BD，CD，则BD，CD平面ABC，∵EF⊥平面ABC，∴ EF⊥BC，EF⊥DC，∠BDC是二面角α–EF–β的平面角，∠BCD=120°，A，B，C，D在同一平面内，且∠ABD=∠ACD=90°，

∴∠BAC=60°，当AB=4 cm, AC=6 cm时，

BC=

又∵  A，B，C，D共圆，∵AD是直径。∵ EF⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥EF，即AD是A到EF的距离，由正弦定理，得AD==（cm）