Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和BC的中点，EF与BD相交于点H，M为BB₁中点．
①求二面角B₁-EF-B的大小；
②求证：D₁M⊥平面B₁EF；
③求点D₁到平面B₁EF的距离．

Answer 1

分析：①连接B₁H，由等腰三角形“三线合一”的性质可得EF⊥BH，由正方体的几何特征，可得B₁H⊥EF，则∠B₁HB是二面角B₁-EF-B的平面角，解三角形B₁HB，即可得到二面角B₁-EF-B的大小．
②由BD⊥EF，D₁M在平面ABCD的射影为BD，由三垂线定理可得D₁M⊥EF，连接A₁M，易证得D₁M⊥B₁E，由线面垂直的判定定理，可得D₁M⊥平面B₁EF；
③由②中结论可得D₁N⊥平面B₁EF，则D₁N的长即为D₁到平面B₁EF的距离，连接B₁D₁，解Rt△B₁D₁M即可得到D₁N的长，进而得到点D₁到平面B₁EF的距离．

解答：解：①连接B₁H，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF⊥BH
又BB₁⊥平面ABCD，∴BH是B₁H在平面ABCD的射影，∴B₁H⊥EF
∴∠B₁HB是二面角B₁-EF-B的平面角--------------------------------------------2′
显然tan∠B₁HB=

B1B

BH

=

B1B

1 4 BD

=

B1B

1 4 × 2 B1B

=2

2

-----------------------------4′
∴∠B₁HB=arctan2

2

即二面角B₁-EF-B的大小为arctan2

2

-------------------------------------------5′
②∵D₁M在平面ABCD的射影为BD又BD⊥EF，∴D₁M⊥EF--------------------7′
连接A₁M，D₁M在平面A₁ABB₁的射影为A₁M
由△A₁M B₁≌△B₁BE知A₁M⊥B₁E
∴D₁M⊥B₁E----------------------------------------------------------------------------------9′
又B₁E∩EF=E，∴D₁M⊥平面B₁EF---------------------------------------------------10′
（若用向量法证，相应给分）
③设B₁H∩D₁M于N，由②知D₁N⊥平面B₁EF
∴D₁N的长即为D₁到平面B₁EF的距离
连接B₁D₁，则在Rt△B₁D₁M中
D₁N=

D1B12

D1M

=

2a2

2a2+ a2 4

=

4

3

a-----------------------------------------------------14′

点评：本题考查的知识点二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，点到平面之间的距离，其中①的关键是证得∠B₁HB是二面角B₁-EF-B的平面角，②的关键是证得D₁M⊥EF且D₁M⊥B₁E，③是证得D₁N的长即为D₁到平面B₁EF的距离．