Question

【题目】已知函数，且是曲线的切线.

（1）求实数a的值以及切点坐标；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】(1) ，切点为 (2)证明见解析

【解析】

（1）求出的导数，设出切点，可得切线的斜率，由切线方程可得的方程，解方程可得；

（2）先通过对 求导利用函数单调性，得到，再构造函数 ，求导利用函数单调性得到，即可求解。

解：（1）设切点为，则切线为

即

从而

消去a得：

记

则，显然单调递减且，

所以时，，单增，时，，单减，故当且仅当时取到最大值，而.

所以，切点为

（2）（方法一）记，，则

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴，∴，即①

，

则

∴时，，单调递减；

时，，单调递增

∴，即，∴即②

由①②得.

（方法二）令，

则

令，易知在上单增，且，

所以当时，，从而；

当时，，从而，

即在单减，在单增，

则的最小值为

所以当时，，即，

，即，

（方法三）记，则调递减

时，，单调递增，

所以，故，等号成立当且仅当

故，等号成立当且仅当.

欲证，只需证明，即

记，则

从而时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以，，可得，即

∴.