Question

对于函数f(x)，使x-f(x)=0的x叫做f(x)的不动点，容易求得f(x)=x²的不动点为0和1；f(x)是否有不动点与函数g(x)=x-f(x)的性质密切相关.

(1)求f₁(x)=的不动点；

(Ⅱ)设a＞0，且a≠1，求使f₂(x)=log_ax有不动点的a的取值范围.

Answer 1

解:(Ⅰ)x-f₁(x)=0,即x-=0,

解得x₁=0,x₂=1,x₃=-1.

所以，函数f₁(x)的不动点为0,1,-1. 

(Ⅱ)令g(x)=x-f₂(x)-x-log_ax(x＞0),

则g′(x)=1-. 

(1)若0＜a＜1,则log_ae＜0, g′(x)＞0,

则g(x)在(0,+∞)内单调递增.

又g(a)=a-1＜0,g(1)=1＞0,所以g(x)=0

即x-f₂(x)=0在(0，1)内有一根. 

(2)若a＞1，则当x∈(0,log_ae)时，(x)＜0,g(x)单调递减，

当x∈(log_ae,+∞)时，(x)＞0,g(x)单调递增；

当x=log_ae时，g(x)有最小值log_ae-log_a(log_ae).

由g(1)=1＞0知，当且仅当log_ae-log_a(log_ae)≤0时，g(x)=0即x-f₂(x)=0有实根.

由a＞1，知

log_ae-log_a(log_ae)≤0log_ae≤log_a(log_ae)e≤log_aea^e≤e1＜a≤.

综合所述，a的取值范围是(0,1)∪.