题目内容
(2009•山东模拟)对于函数f(x)=a-
(a∈R).
(1)用函数单调性的定义证明f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?
2 | 2x+1 |
(1)用函数单调性的定义证明f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?
分析:(1)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,判断f(x1)-f(x2)的符号,进而根据函数单调性的定义,可得结论;
(2)根据奇函数的定义,令f(-x)+f(x)=0,根据指数的运算性质,可求出a值.
(2)根据奇函数的定义,令f(-x)+f(x)=0,根据指数的运算性质,可求出a值.
解答:证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,
则2x1<2x2,2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)=(a-
)-(a-
)=
-
=
<0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)若函数f(x)=a-
为奇函数
则f(-x)+f(x)=a-
+a-
=a-
+a-
=2a-
=2a-2=0
解得a=1
故存在实数a=1使函数f(x)为奇函数
则2x1<2x2,2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)=(a-
2 |
2x1+1 |
2 |
2x2+1 |
2 |
2x2+1 |
2 |
2x1+1 |
2(2x1-2x2) |
(2x1+1)(2x2+1) |
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)若函数f(x)=a-
2 |
2x+1 |
则f(-x)+f(x)=a-
2 |
2-x+1 |
2 |
2x+1 |
2•2x |
2x+1 |
2 |
2x+1 |
2•(2x+1) |
2x+1 |
解得a=1
故存在实数a=1使函数f(x)为奇函数
点评:本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性,熟练掌握函数单调性与奇偶性的定义是解答的关键.
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