题目内容

(2009•山东模拟)对于函数f(x)=a-
22x+1
(a∈R)

(1)用函数单调性的定义证明f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?
分析:(1)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,判断f(x1)-f(x2)的符号,进而根据函数单调性的定义,可得结论;
(2)根据奇函数的定义,令f(-x)+f(x)=0,根据指数的运算性质,可求出a值.
解答:证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2
2x12x22x1-2x2<02x1+1>02x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)=(a-
2
2x1+1
)-(a-
2
2x2+1
)=
2
2x2+1
-
2
2x1+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
<0
∴f(x1)<f(x2
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)若函数f(x)=a-
2
2x+1
为奇函数
则f(-x)+f(x)=a-
2
2-x+1
+a-
2
2x+1
=a-
2•2x
2x+1
+a-
2
2x+1
=2a-
2•(2x+1)
2x+1
=2a-2=0
解得a=1
故存在实数a=1使函数f(x)为奇函数
点评:本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性,熟练掌握函数单调性与奇偶性的定义是解答的关键.
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