Question

【题目】已知函数.

(1) 求的单调区间；

(2) 讨论在上的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）求导数得，当时，则恒成立，故的单调递増区间为．当时，由得，由得，

故的单调递増区间为，单调递减区间为．（2）令，分离参数得，由于，故当时，函数无零点；当时，令，可得在上单调递增，在(上单调递减，故，所以当时， 有1个零点，当时， 有2个零点．

试题解析：

⑴因为，

所以，

①当时，则恒成立，

所以的单调递増区间为，

②当时，

令得，

令得，

所以的单调递増区间为，单调递减区间为．

综上：当时， 的单调递増区间为；

当时， 的单调递増区间为，单调递减区间为．

(2)令，

所以

因为，所以，

所以若，则无零点．

若，令，

则，

故当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减．

所以当时， 有极大值，也为最大值，且，

又当时， ，当时， ，

所以当时， 有1个零点，

当时， 有2个零点．

综上，当时，函数无零点；当时， 有1个零点；当时， 有2个零点．