Question

（2011•武昌区模拟）如图，从∠BAC的边上一点B作BC⊥AC，从C作CD⊥AB，从D再作DE⊥AC，这样无限进行下去，已知BC=5cm，CD=4cm，则这些垂线段长的和是

25

cm．

Answer 1

分析：先根据条件求出这些垂线段的长的前几项，找到数列的规律，进而求出其和即可．

解答：解；∵BC=5，CD=4，
∴DB=3．
∵tan∠DBA=

DC

DB

=

AC

BC

⇒AC=

20

3

∴AB=

AC 2+BC 2

=

25

3

⇒AD=

16

3

．
∵sin∠BAC=

BC

AB

=

DE

AD

⇒DE=

16

5

．
设这些垂线段的长组成数列{a_n}，
则a₁=5，a₂=4，a₃=

16

5

…
可得{a_n}是首项为5公比为

4

5

的等比数列，
∴s_n=

a1(1-qn)

1-q

=

5×(1-( 4 5 )n)

1- 4 5

=25×[1-(

4

5

)n]．
∴

lim

n→∞

s_n=

lim

n→∞

25×[1-(

4

5

)n]=25．
故答案为：25．

点评：本题主要考查数列的求和以及相似三角形的应用．解决问题的关键在于找到数列的规律，进而求出结论．