题目内容
（2011•武昌区模拟）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（3m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3n+1）=9．
其中所有正确结论的序号是
①对任意m∈Z，有f（3m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3n+1）=9．
其中所有正确结论的序号是
①②
①②
．分析：依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第①②个条件得到②正确，③错误．
解答：解：①∵对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．
∴f（3m）=f（3•3m-1）=3f（3m-1）=…=3m-1f（3）=0，正确；
②取x∈（3m，3m+1]，则
∈(1，3]；f(
)=3-
，f(
)=…=3mf(
)=3m+1-x，
从而f（x）∈[0，+∞），正确；
③∵x∈（1，3]时，f（x）=3-x，对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3n+1）=3nf（1+
）=3n（3-（1+
））=3n（2-
）≠9，故③错误；
故答案为：①②．
∴f（3m）=f（3•3m-1）=3f（3m-1）=…=3m-1f（3）=0，正确；
②取x∈（3m，3m+1]，则
| x |
| 3m |
| x |
| 3m |
| x |
| 3m |
| x |
| 3 |
| x |
| 3m |
从而f（x）∈[0，+∞），正确；
③∵x∈（1，3]时，f（x）=3-x，对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3n+1）=3nf（1+
| 1 |
| 3n |
| 1 |
| 3n |
| 1 |
| 3n |
故答案为：①②．
点评：本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度大，易错点在于②x∈（3m，3m+1]，f(
)=…=3mf(
)=3m+1-x的转化，属于难题．
| x |
| 3 |
| x |
| 3m |
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