Question

如果的三个内角的余弦值分别等于对应的三个内角的正弦值，则

A．和均为锐角三角形

B．和均为钝角三角形

C．为钝角三角形，为锐角三角形

D．为锐角三角形，为钝角三角形

Answer 1

D

试题分析：首先根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，确定△A₁B₁C₁是锐角三角形；然后假设△A₂B₂C₂是锐角三角形，则由cosα=sin（ -α）推导出矛盾；再假设△A₂B₂C₂是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出△A₂B₂C₂是钝角三角形的结论．解：因为△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值均大于0，所以△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值也均大于0，则△A₁B₁C₁是锐角三角形．若△A₂B₂C₂是锐角三角形，由sinA₂=cosA₁=sin（ - A₁）, sinB₂=cosB₁=sin（ - B₁）, sinC₂=cosC₁=sin（ - C₁）得，那么，A₂+B₂+C₂=，这与三角形内角和是π相矛盾；若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨设A₂=,则sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范围内无值．所以△A₂B₂C₂是钝角三角形．故选D
点评：本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式，同时考查反证法思想