Question

设f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5，当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．

解答：解：f′（x）=3x²-x-2=0
解得：x=1或-

2

3

当x∈(-1，-

2

3

)时，f'（x）＞0，
当x∈(-

2

3

，1)时，f'（x）＜0，
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，
∴f（x）_max={f（-

2

3

），f（2）}_max=7
由f（x）＜m恒成立，所以m＞f_max（x）=7．
故答案为：（7，+∞）

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题．