Question

设f(x)=x3+log2(x+

x2+1

)，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（　　）

• A、充分必要条件
• B、充分而非必要条件
• C、必要而非充分条件
• D、既非充分也非必要条件

Answer 1

分析：由f（-x）=-x³+log₂（-x+

x2+1

）=-x³+log₂

1

x+ x2+1

=-x³-log₂（x+

x2+1

）=-f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥-f（b）=f（-b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．

解答：解：f（x）=x³+log2（x+

x2+1

），f（x）的定义域为R
∵f（-x）=-x³+log₂（-x+

x2+1

）=-x³+log₂

1

x+ x2+1

=-x³-log₂（x+

x2+1

）=-f（x）．
∴f（x）是奇函数
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在R上是增函数
a+b≥0可得a≥-b
∴f（a）≥f（-b）=-f（b）
∴f（a）+f（b）≥0成立
若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥-f（b）=f（-b）由函数是增函数知
a≥-b
∴a+b≥0成立
∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．

点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．