题目内容

已知α∈(-
π
2
，0)，cos(α+
π
12
)=
2
3
，则sin(2α+
π
3
)=
-
4
15
+1
18
-
4
15
+1
18
．
分析：视角α+
π
12
看作整体，将2α+
π
3
转化为 2（α+
π
12
）+
π
6
，利用两角和的正弦公式，二倍角公式计算化简．
解答：解：∵α∈(-
π
2
，0)，cos(α+
π
12
)=
2
3
，∴cos2(α+
π
12
)=2cos2(α+
π
12
)-1=2×
4
9
-1=-
1
9
＜0，
而2（α+
π
12
）∈（-
5π
6
，
π
6
），所以2（α+
π
12
）∈（-
5π
6
，-
π
2
），
所以sin2(α+
π
12
)=-
1-(-
1
9
)2
=-
4
5
9
，
所以sin(2α+
π
3
)=sin[2（α+
π
12
）+
π
6
]=sin[2（α+
π
12
）]cos
π
6
+cos[2（α+
π
12
）sin
π
6
]
=（-
4
5
9
）×
3
2
+(-
1
9
)×
1
2

=-
4
15
+1
18

故答案为：-
4
15
+1
18
．
点评：本题考查两角和与差的三角函数值的计算，二倍角公式的应用，考查角的代换，转化、计算能力．将2α+
π
3
转化为 2（α+
π
12
）+
π
6
是关键，在求sin2(α+
π
12
)时，应尽可能缩小2（α+
π
12
）的取值范围，使sin2(α+
π
12
)的正负取值准确化．
练习册系列答案
相关题目
已知α?(-
π
2
，0)，sinα=-
3
5
，则cos（π-α）=
 
．
已知α∈(-
π
2
，0)，cosα=
3
5
，则tan(α+
π
4
)=
-
1
7
-
1
7
．
（2013•杭州模拟）已知α∈(-
π
2
，0)，sinα=-
4
5
，则tan(α+
π
4
)等于（　　）
（2013•松江区二模）已知α∈(-
π
2
，0)，且cosα=
4
5
，则sin2α=
-
24
25
-
24
25
．
（2010•顺德区模拟）已知α∈(-
π
2
，0)，cosα=
3
5
，则tan(α+
π
4
)=（　　）

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