Question

过抛物线E：y²=4x焦点F的直线l与E交与不同两点A（x₁，y_1），B（x₂，y₂），则

1

x1

+

4

x2

的最小值为=

 

．

Answer 1

分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而根据点斜式设直线l的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁x₂的值，进而根据均值不等式

1

x1

+

4

x2

≥2

1 x1 • 4 x2

求得答案．

解答：解：抛物线y²=4x，焦点坐标为（1，0），设直线l的方程为y=k（x-1），
则

y=k(x-1) y2=4x

消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x₁x₂=1
∵x₁＞0，x₂＞0
∴

1

x1

+

4

x2

≥2

1 x1 • 4 x2

=4当且仅当4x₁=x₂时取等号；
故答案为4．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解此类题常需要把直线和圆锥曲线方程联立．