Question

14．在数列{a_n}中，a₁=3，若函数y=3x-2的图象经过点（a_n+1，a_n）
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）将a_n=3a_n+1-2两边减1，可得a_n-1=3（a_n+1-1），应用等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）令C_n=a_n-1，由等比数列的通项，得到C_n的通项，从而得到a_n；然后利用等比数列求和公式求和即可．

解答 （1）证明：∵点P（a_n+1，a_n）在函数y=3x-2的图象上，
∴a_n=3a_n+1-2，
∴a_n-1=3（a_n+1-1），
∴数列{a_n-1}是以2为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
（2）解：令C_n=a_n-1，
∴C₁=a₁-1=2
∵{C_n}是公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴C_n=2•（$\frac{1}{3}$）^n-1
即a_n-1=2•（$\frac{1}{3}$）^n-1
∴a_n=2•（$\frac{1}{3}$）^n-1+1；
令S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
令S_n=2[1+$\frac{1}{3}$+$（{\frac{1}{3}）}^{2}$+${（\frac{1}{3}）}^{3}$+…+${（\frac{1}{3}）}^{n-1}$]+n
=$2×\frac{1（1-{（\frac{1}{3}）}^{n}）}{1-\frac{1}{3}}$+n
=$3（1-\frac{1}{{3}^{n}}）+n$
=n+3-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项和求和，等比数列的判断，递推关系式的应用，主要考查等比数列的通项公式及应用，分组求和，属于中档题．