题目内容

5．已知函数f（x）=x3-ax．
（1）求证：当1＜a＜4时，方程f（x）=0在（1，2）内有根；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

分析 （1）根据零点存在性定理直接判断即可，即只需说明f（1）f（2）＜0；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上递增，则其导函数f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，然后分离参数a，求出函数的最值即可解决问题．

解答 解：（1）显然函数f（x）在（1，2）上连续，而1＜a＜4，所以1-a＜0，4-a＞0．
所以f（1）f（2）=（1-a）（8-2a）=2（1-a）（4-a）＜0，
所以方程f（x）=0在（1，2）内有根．
（2）由题意f′（x）=3x2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立，
易知y=3x2在[1，+∞）上递增，所以ymin=3×12=3，
故所求a的范围是（-∞，3]．

点评 本题考查了函数的零点判断的方法以及已知函数的单调性求参数范围的问题，主要是分离参数，转化为函数的最值问题．

练习册系列答案
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