Question

7．定义在R上的函数f（x）满足f（x-2）=-f（x），且在区间[0，1]上是增函数，又函数f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若方程f（x）=m在区间[-4，4]上有4个不同的根，则这些根之和为（　　）

• A． -3
• B． ±3
• C． 4
• D． ±4

Answer 1

分析 求出f（x）的周期及对称中心，作出f（x）的函数图象草图，利用对称性得出四个根之和．

解答 解：∵f（x-2）=-f（x），∴f（x）=-f（x+2），
∴f（x+2）=f（x-2），∴f（x）的周期为4．
又f（x-1）关于（1，0）对称，∴f（x）的图象关于（0，0）对称，
∴f（x）是奇函数．
作出f（x）的大致函数图象如图所示：

设方程f（x）=m在区间[-4，4]上有4个不同的根从小到大依次为a，b，c，d，
当m＞0，a+b=-6，c+d=2，∴a+b+c+d=-4，
当m＜0时，a+b=-2，c+d=6，∴a+b+c+d=4．
故选：D．

点评 本题考查了函数的周期性，对称性与函数零点的关系，属于中档题．