题目内容

等差数列{a_n}满足3a₅=5a₈，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）若a₁=1，当S_n取得最大值时，求n的值；
（2）若a₁=-46，记 $数学公式$ ，求b_n的最小值．

解：（1）设{a_n}的公差为d，则
由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），∴d=- $\text{[math]}$ a₁=- $\text{[math]}$ ．
∴S_n=na₁+ $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ a₁）=- $\text{[math]}$ n²+ $\text{[math]}$ n=- $\text{[math]}$ （n-12）²+ $\text{[math]}$ ．
∴当n=12时，S_n取得最大值．…（6分）
（2）由（1）及a₁=-46，得d=- $\text{[math]}$ ×（-46）=4，
∴a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，
S_n=-46n+ $\text{[math]}$ ×4=2n²-48n．
∴b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2n+ $\text{[math]}$ -52≥2 $\text{[math]}$ -52=-32，
当且仅当2n= $\text{[math]}$ ，即n=5时，等号成立．
故b_n的最小值为-32．…（12分）
分析：（1）由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），故d=- $\text{[math]}$ a₁=- $\text{[math]}$ ．由此能求出当n=12时，S_n取得最大值．
（2）由（1）及a₁=-46，得d=- $\text{[math]}$ ×（-46）=4，故a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，S_n=-46n+ $\text{[math]}$ ×4=2n²-48n．再由b_n= $\text{[math]}$ ，能求出b_n的最小值．
点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等式的合理运用．