Question

如图，设P是圆x²+y²=2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，|PD|=|MD|．点A（0，）、F₁（-1，0）．
（1）设在x轴上存在定点F₂，使|MF₁|+|MF₂|为定值，试求F₂的坐标，并指出定值是多少？
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此时点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（x_p，y_p），点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，由条件得：x_p=x，且，由此能导出M轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆，从而能求出F₂的坐标和定值．
（2）由（1）知，=2，当A，F₂，M三点共线，且M在AF₂延长线上时，取等号．由此能求出M点坐标．
解答：解：（1）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（x_p，y_p），
∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，
由条件得：x_p=x，且，
∵P在圆x²+y²=2上，∴，
整理，得，c=，
∴M轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆，
由椭圆定义知|MF₁|+|MF₂|=2a=2．
（2）由（1）知，=2，
当A，F₂，M三点共线，且M在AF₂延长线上时，取等号．
直线，联立，
其中1＜x＜，解得，
即所求的M的坐标．
点评：本题考查点的坐标的求法，求定值．具体涉及到椭圆的简单性质，圆的性质和应用，直线与圆锥曲线的位置关系．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．