Question

如图，设P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=

4

5

|PD|
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率

4

5

的直线被C所截线段的长度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=

4

5

|PD|，利用相关点法即可求轨迹；
（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度．

解答：解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y）P的坐标为（x_p，y_p）
由已知得：

xp=x yp= 5 4 y

∵P在圆上，
∴x2+(

5

4

y)2=25，即C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线方程为：y=

4

5

(x-3)，
设直线与C的交点为A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
将直线方程y=

4

5

(x-3)代入C的方程，得

x2

25

 +

(x-3)2

25

=1   即：x2-3x-8=0   ∴x1=

3- 41

2

，x2=

3+ 41

2

，
∴线段AB的长度为|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 16 25 )(x1-x2)2

 
=

41•41 25

=

41

5

．

点评：此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了联立直线方程与曲线方程进行整体代入，还有两点间的距离公式．