题目内容

椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为
3
，求此椭圆的标准方程．
分析：当焦点在x轴时，设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，由题意得到a、b、c之间的关系求出其，进而得到椭圆的方程．当焦点在y轴时，同理可得椭圆方程的方程．
解答：解：当焦点在x轴时，设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，
由题意知a=2c，a-c=
3
，
解得a=2
3
，c=
3
，
所以b2=9，所求的椭圆方程为
x2
12
+
y2
9
=1．
同理，当焦点在y轴时，所求的椭圆方程为
x2
9
+
y2
12
=1．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程，以及a、b、c之间的关系．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
5
2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为-
1
2
，求斜率k的值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率为
6
3
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 
5
2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-
1
2
，求斜率k的值； 
②x轴上是否存在定点M，使
MA
•
MB
为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆W的中心在原点，焦点在X轴上，离心率为
6
3
，椭圆短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为2
2
，椭圆W的左焦点为F，过x轴的一点M（-3，0）任作一条斜率不为零的直线L与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于X轴的对称点为C．
（1）求椭圆W的方程；
（2）求证：
CF
=λ
FB
（λ∈R）；
（3）求△MBC面积S的最大值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
3
，过椭圆C的右焦点的动直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标为
1
2
，求直线l的方程；
（3）若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦AB的中点为P，试求
|
DP|
|
AB|
的取值范围．

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