Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

6

3

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 

5 2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-

1

2

，求斜率k的值； 
②x轴上是否存在定点M，使

MA

•

MB

为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a²=b²+c²，即可求椭圆C的方程；
（2）①直线方程与椭圆联立，利用韦达定理，结合AB中点的横坐标为-

1

2

，即可求斜率k的值； 
②利用向量的数量积公式，结合定值时与k的取值无关，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，a²=b²+c²，

c

a

=

6

3

，且椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为

5 2

3

，所以

1

2

b×2c=

5 2

3

，所以a2=5，b2=

5

3

，所以椭圆方程为：

x2

5

+

y2

5 3

=1…（4分）
（2）①

y=k(x+1) x2 5 + y2 5 3 =1

化简可得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0．
又△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理可得x1+x2=-

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-5

3k2+1

∵AB中点的横坐标为-

1

2

，∴-

6k2

3k2+1

=-

1

2

，解得k=±

3

3

…（8分）
②假设X轴上存在点M（m，0）使得

MA

•

MB

为定值，则

MA

•

MB

=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1-x2)+(k2+m2)=

(3m2+6m-1)k2+(m2-5)

3k 2+1

要使上式为定值，则须使

3m2+6m-1

3

=

m2-5

1

，∴m=-

7

3

．
此时

MA

•

MB

为定值

4

9

，定点为M（-

7

3

，0）…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．