Question

3．已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x+log₂（$\frac{5}{2}$-x）-1．
（1）求函数f（x）的解析式，并判断函数f（x）在[0，1]上的单调性（不要求证明）；
（2）解不等式f（2x-1）-$\frac{1}{2}$≥0．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义求出f（x）在x∈[-1，0]上的x的范围即可；
（2）求出f（$\frac{1}{2}$）的值，问题掌握解不等式f（2x-1）≥f（$\frac{1}{2}$），结合函数的单调性求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
当x∈[0，1]时，f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x+log₂（$\frac{5}{2}$-x）-1，
设-x∈[0，1]，则x∈[-1，0]，
∴f（-x）=${（\frac{1}{4}）}^{-x}$+log₂（$\frac{5}{2}$+x）-1=4^x+log₂（$\frac{5}{2}$+x）-1=f（x），
∴x∈[-1，0]时：f（x）=4^x+log₂（$\frac{5}{2}$+x）-1；
f（x）在[-1，0）递增，在（0，1]递减；
（2）x∈[0，1]时：f（x）递减，
而f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴解不等式f（2x-1）-$\frac{1}{2}$≥0，
即解不等式f（2x-1）≥f（$\frac{1}{2}$），
∴0≤2x-1≤$\frac{1}{2}$，解得：$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{4}$，
根据函数f（x）是偶函数，
x∈[-1，0]时：-$\frac{3}{4}$≤x≤-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，是一道中档题．