题目内容
已知函数f（x）=x-
（1）判断并证明f（x）的奇偶性
（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
| 4 |
| x |
（1）判断并证明f（x）的奇偶性
（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
考点：奇偶性与单调性的综合
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数奇偶性的定义证明f（x）的奇偶性
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
解答：
解：（1）f（x）是奇函数…．…．…．…（2分）
证明：由已知函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞） …．…．…．…（3分）
又f（-x）=-x+
=-（x-
）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．…．…．…．…..…（6分）
（2）证明：在区间（0，+∞）上任取两实数x1，x2且x1＞x2，
则f（x1）-f（x2）=x1-
-（x2-
）=（x1-x2）•
） …（9分）
因为x1＞x2＞0，所以x1-x2＞0，
所以f（x1）＞f（x2）…..…（11分）
因此f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．…．…..（12分）
证明：由已知函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞） …．…．…．…（3分）
又f（-x）=-x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
∴f（x）是奇函数．…．…．…．…..…（6分）
（2）证明：在区间（0，+∞）上任取两实数x1，x2且x1＞x2，
则f（x1）-f（x2）=x1-
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| x1x2+4 |
| x1x2 |
因为x1＞x2＞0，所以x1-x2＞0，
所以f（x1）＞f（x2）…..…（11分）
因此f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．…．…..（12分）
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．
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把下面在平面内成立的结论：
（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交
（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行
（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直
（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
类比地推广到空间，且结论也正确的是（ ）
（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交
（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行
（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直
（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
类比地推广到空间，且结论也正确的是（ ）
| A、（1）（2） |
| B、（2）（3） |
| C、（2）（4） |
| D、（3）（4） |
函数f（x）=2x+3x的零点所在的区间为（ ）
| A、（-1，0） |
| B、（0，1） |
| C、（-2，-1） |
| D、（1，2） |
