Question

关于x的方程(x²－1)²－|x²－1|＋k＝0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．

其中假命题的个数是

[　　]

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

答案：A
解析：

令t＝x2－1，且y＝t2－|t|，y＝－k，在同一坐标系中作出函数y＝t2－|t|，y＝－k的图像，如图所示． 　　当k＝0时，函数y＝t2－|t|，y＝－k的图像有3个交点，－1，0，1，相应地，应有x2－1＝1，x2－1＝－1，x2－1＝0，则此时方程有5个根； 　　当k＜0时，此时－k＞0，函数y＝t2－|t|，y＝－k的图像有2个交点，此时t2－|t|＋k＝0，Δ＝1－4k＞0，从而|t|＝，即x2＝，或x2＝＜0(舍去)，则此时方程有2个不同的根； 　　当k＝时，函数y＝t2－|t|，y＝－k的图像有2个交点，且|x2－1|＝，则此时方程有4个根； 　　当0＜k＜时，函数y＝t2－|t|，y＝－k的图像有4个交点，从而原方程有8个根． 　　从而假命题的个数为0，故选A．