Question

已知a，b，c满足：a、b、c∈R⁺，a²+b²=c²，当n∈N，n＞2时，比较cⁿ与aⁿ+bⁿ的大小．

Answer 1

分析：依题意，a²＜c²，b²＜c²，

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），利用指数函数的单调性即可比较n＞2时，cⁿ与aⁿ+bⁿ的大小．

解答：解：∵a、b、c∈R⁺，a²+b²=c²，
∴(

a

c

)2+(

b

c

)2=1．
∴

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），
∵y=(

a

c

)x与y=(

b

c

)x均为减函数，
∴当n＞2时，(

a

c

)n＜(

a

c

)2，(

b

c

)n＜(

b

c

)2；
∴当n＞2时，(

a

c

)n+(

b

c

)n＜(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，
即当n＞2时，aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

点评：本题考查不等式比较大小，突出考查指数函数的单调性，考查转化思想与推理分析的能力，属于难题．