Question

（2007•淄博三模）在△ABC中，a，b，c是内角，A，B，C的对边，且tanB•cosC=2sinA-sinC．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若

AB

•

BC

=-

1

2

，求b的最小值．

Answer 1

分析：（I）将已知中的“切”化“弦”，逆用两角和的正弦及诱导公式可求得cosB=

1

2

，从而可知角B的大小；
（Ⅱ）利用向量的数量积

AB

•

BC

=-

1

2

可求得ac=1，再利用余弦定理与基本不等式即可求得b的最小值．

解答：解：（ I）原式可化为sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB…（1分）
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∴sinA=2sinAcosB，
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴cosB=

1

2

…（5分）
∴B=

π

3

…（6分）
∴B=

π

3

…(6分)
（ II）

AB

•

BC

=accos（π-

π

3

）=-

1

2

ac=-

1

2

，
∴ac=1…（8分）
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=1，
∴bc≥1．
即b的最小值是1（此时△ABC为边长是1的等边三角形）…．（12分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查平面向量的数量积、余弦定理及基本不等式的应用，属于中档题．