Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：f（-1）=-2，当x＞0时f′（x）＞2，则不等式f（x）＞2x的解集为（　　）

A．（-1，0）∪（1，+∞）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（-1，+∞）

D．（1，+∞）

Answer 1

分析：先构造函数F（x）=f（x）-2x，然后利用导数的符号，判断函数F（x）的单调性，同时结合奇偶性，利用图象可求解．

解答：解：构造函数F（x）=f（x）-2x，则当x＞0时，F′（x）=f′（x）-2，因为f′（x）＞2，
所以F′（x）=f′（x）-2＞0，即函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为f（x）为奇函数，所以函数F（x）=f（x）-2x也为奇函数．
所以F（-1）=f（-1）-2（-1）=-2+2=0，且F（1）=0，
所以当x＞1或-1＜x＜0时，F（x）＞0，即此时f（x）＞2x，
所以不等式f（x）＞2x的解集为（-1，0）∪（1，+∞），
故选A．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性．构造函数F（x）=f（x）-2x是解决此类问题的关键．