题目内容

设y＝f(x)是定义在R上的函数，如果存在A点，对函数y＝f(x)的图像上任意点P，P关于点A的对称点Q也在函数y＝f(x)的图像上，则称函数y＝f(x)关于点A对称，A称为函数f(x)的一个对称点．对于定义在R上的函数f(x)，可以证明点A(a，b)是f(x)图像的一个对称点的充要条件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．

(1)求函数f(x)＝x3＋3x2图像的一个对称点；

(2)函数

答案：
解析：

　　解：(1)设为函数图像的一个对称点，则对于恒成立．即对于恒成立，

　　由，

　　故函数图像的一个对称点为．

　　(2)假设是函数的图像的一个对称点，则

　　对于恒成立，即

　　对于恒成立，

　　所以．

　　故函数的图像有一个对称点．

　　(其实，而函数是奇函数，其图象关于原点对称，故的图象关于对称)


练习册系列答案
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设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)判断函数g(x)＝是否满足题设条件；

(3)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数y＝f(x)，且使得对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

(精典回放)设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：①f(－1)＝f(1)＝0；②对任意的μ、v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|μ－v|

(1)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)证明：对任意的μ、v∈[－1，1]，都有

|f(u)－f(v)|≤1；

(3)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y＝f(x)，且使得：

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，当μ、v∈[0，]．

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，当μ、v∈[，1]．

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

设y＝f(x)是定义在R上的函数，给定下列三个条件：(1)y＝f(x)是偶函数；(2)y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；(3)T＝2为y＝f(x)的一个周期．如果将上面(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有________个．

设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，对任意的，都有，且f(1)＝a＞0

(1)求；

(2)证明：y＝f(x)是周期函数．

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