Question

设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)判断函数g(x)＝是否满足题设条件；

(3)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数y＝f(x)，且使得对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：由题设条件可知，当x∈[－1，1]时，有|f(x)|＝|f(x)－f(1)|≤|x－1|＝1－x，即x－1≤f(x)≤1－x． 　　(2)答：函数g(x)满足题设条件．验证如下：g(－1)＝0＝g(1)． 　　对任意u，v∈[－1，1]， 　　当u，v∈[0，1]时，有|g(u)－g(v)|＝|(1－u)－(1－v)|＝|u－v|； 　　当u，v∈[－1，0]时，同理有|g(u)－g(v)|＝|u－v|； 　　当u·v＜0时，不妨设u∈[－1，0)，v∈(0，1]，有|g(u)－g(v)|＝|(1＋u)－(1－v)|＝|u＋v|≤|v－u|＝|u－v|． 　　所以，函数g(x)满足题设条件． 　　(3)答：这样的函数不存在．理由如下： 　　假设存在f(x)满足条件，则由f(－1)＝f(1)＝0得 　　|f(1)－f(－1)|＝0．　　① 　　由于对任意u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|， 　　所以，|f(1)－f(－1)|＝|1－(－1)|＝2．　　② 　　①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．