题目内容

已知x1、x2是函数f(x)=x3+x2-a2x(a＞0)的两个极值点，且| x1|+|x2|=2．

(Ⅰ)求a、b关系式，并指出a的取值范围；

(Ⅱ)求实数b的取值范围.

解：(Ⅰ)f′(x)=a2+bx-a2

∵x1、x2是函数f(x)=(a＞0)的两个极值点

∴x1、x2是方程ax2+bx-a2=0的两根

∴x1+x2=，x1·x2=-a

∵a＞0，∴x1·x2＜0

∴| x1|+|x2|=| x1-x2|=2,∴(x1-x2)2=4 

又∵(x1-x2)2=( x1+x2)2-4 x1x2  ∴()2+4a=4

即b2=4(a2-a3)=42(1-a)  由b2≥0，得0＜a≤1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=4(a2-a3)，a∈(0，1]

设f(a)=a2-a3，a∈(0，1] f′(a)=a(2-3a)

令f′(a)=0，解得a=或a=0(舍) 

x∈(0，]，f′(a)＞0，x∈(，1]，f′(a)＜0，

∴a=时，y取最大值等于  

a=1时、y取最小值等于0，即y∈[0，]

∴b2∈[0,]，故b∈[]。

练习册系列答案
相关题目
14、下列命题中：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x1，x2是函数f（x）定义域内的两个值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），则f（x）是减函数；
④若f （x）是定义在R上的奇函数，且f （x+2）也为奇函数，则f （x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是
①④
．
已知x1，x2是函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0）的两个零点，函数f（x）的最小值为-a，记P={x|f（x）＜0，x∈R}
（ⅰ）试探求x1，x2之间的等量关系（不含a，b）；
（ⅱ）当且仅当a在什么范围内，函数g（x）=f（x）+2x（x∈P）存在最小值？
（ⅲ）若x1∈（-2，2），试确定b的取值范围．
下列命题中：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x1，x2是函数f（x）定义域内的两个值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），则f（x）是减函数；
④若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是
①④
①④
．
（2012•洛阳模拟）已知x1，x2是函数f(x)=e-x-|lnx|的两个零点，则（　　）
（2013•许昌二模）已知x1，x2是函数f（x）=e-x-|lnx|的两个零点，则（　　）

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