题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），直线y=k（x-1）经过椭圆C的一个焦点与其相交于点M，N，且点A(1，
3
2
)在椭圆C上．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，问：在x轴上是否存在一个定点Q，使得
|PQ|
|MN|
为定值？若存在，求出点Q的坐标和
|PQ|
|MN|
的值；若不存在，说明理由．
（I）由题意，椭圆的一个焦点为（1，0），
又∵点A(1，
3
2
)在椭圆C上，
∴
a2-b2=1
1
a2
+
9
4
b2
=1

∴a2=4，b2=3
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（II）存在，
直线y=k（x-1）与椭圆方程联立可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
8k2
3+4k2
，x1x2=
4k2-12
3+4k2
，
∴y1+y2=
-6k
3+4k2

∴MN垂直平分线方程为y-
-3k
3+4k2
=-
1
k
(x-
4k2
3+4k2
)
令y=0，可得x=
7k2
3+4k2

∴P（
7k2
3+4k2
，0），
设Q（a，0），则|PQ|=|
7k2
3+4k2
-a|
∵|MN|=
1+k2
•|x1-x2|=
12(1+k2)
3+4k2
，
∴
|PQ|
|MN|
=
|
7k2
3+4k2
-a|
12(1+k2)
3+4k2
=
|7k2-a(3+4k2)|
12(1+k2)

∴a=7时，
|PQ|
|MN|
=
7
4

∴Q（7，0）．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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