题目内容
定义向量
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
=（a，b）（其中O为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S。
（1）设g（x）=3sin（x+
）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量
的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围。
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S。（1）设g（x）=3sin（x+
）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量
的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围。解：（1）g（x）=3sin（x+ 
）+4sinx=4sinx+3cosx，
其‘相伴向量’
=（4，3），g（x）∈S。
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx =（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx =-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函数h（x）的‘相伴向量’
=（-sinα，cosα+2）
则|
|= 
=
。
（3）
的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=
sin（x+φ），
其中cosφ=
，sinφ=
．
当x+φ=2kπ+
，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+
-φ，k∈Z
∴tanx0=tan（2kπ+
-φ）=cotφ=
，tan2x0=
=
=
为直线OM的斜率，由几何意义知：
∈[-
，0）∪（0，
]
令m=
，则tan2x0=
，m∈[-
，0）∪（0，
}
当-
≤m＜0时，函数tan2x0=
单调递减，
∴0＜tan2x0≤
；
当0＜m≤
时，函数tan2x0=
单调递减，
∴-
≤tan2x0＜0
综上所述，tan2x0∈[-
，0）∪（0，
]。
）+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’
=（4，3），g（x）∈S。（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx =（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx =-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函数h（x）的‘相伴向量’
=（-sinα，cosα+2）则|
|= = 。（3）
的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），其中cosφ=
，sinφ=．当x+φ=2kπ+
，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+-φ，k∈Z∴tanx0=tan（2kπ+
-φ）=cotφ=，tan2x0===为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[-，0）∪（0，]令m=
，则tan2x0=，m∈[-，0）∪（0，}当-
≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤
；当0＜m≤
时，函数tan2x0=单调递减，∴-
≤tan2x0＜0综上所述，tan2x0∈[-
，0）∪（0，]。
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