Question

曲线y=2e

1

2

x在点（4，e²）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

9

2

e2

．

Answer 1

分析：由曲线的解析式，求出曲线对应的函数的导函数，把x=4代入导函数，得到切线方程的斜率，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，然后分别令x=0和y=0，即可求出直线与y轴和x轴的截距，利用三角形的面积公式即可求出切线与坐标轴所围三角形的面积．

解答：解：由y=2e

1

2

x，得到y′=e

1

2

x，
则切线的斜率k=y′|_x=4=e²，
所以切线方程为：y-e²=e²（x-4），即y=e²x-3e²，
令x=0，得y=-3e²；令y=0，得x=3，
则切线与坐标轴所围三角形的面积S=

1

2

×3e²×3=

9

2

e2．
故答案为：

9

2

e2．

点评：本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．