Question

已知椭圆的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴

的对称点为 .

（i）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；

（ii）求△面积的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（2）；（2），.

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解以及直线与坐标轴的交点问题和三角形面积的计算。

解:(Ⅰ)易得，则所以椭圆的标准方程为

(Ⅱ)（i）不妨设直线方程为，代入

得：，

设，则有，，

由关于轴的对称点为，得，

根据题设条件设定点为，

得，即，整理得，

，代入得 

 则定点为                        

（ii）由（I）中判别式，解得 ，而直线过定点

所以

记，，易得在上位单调递减函数，

得